课程回顾
在上一课中,我们讲到了“数学整体思想”中的“整体加减法”,其核心思想就是,让一个“整体”进行“加减运动”,从而达到想要的“效果”,再利用“加减运动后的结果”进行解题,题也就迎刃而解了。
同时,我们也讲了“整体加减法”和“整体代入法”之间的区别。对于“整体代入法”而言,只要把题目中的某条件或某关系式当成一个“整体”后,就能达到奇妙的“解题效果”,直接代入进去就能解题。
而对于“整体加减法”而言,虽然也是把某个条件或某个关系式当成了“整体”,但还远远不够起到“能解题的效果”,还需要进行多个整体之间的“加减运动”后,才能达到解题的效果。
关于“整体加减法”,我们就不赘述了,感兴趣的朋友可以先关注我,到我的主页里去看完整课程!
整体转化法
那么什么是整体转化法呢?
其实很简单,就是把数学题中的某个条件当作一个“整体”,然后转化成一个具有“解题效果”的条件,相当于给条件变了个“小魔术”,给条件变了个脸,问题也就迎刃而解了。
我们曾经讲过“数学转化思想”,就是把“这”转化成“那”,用“那”的属性进行解题,意思是一样一样的。不同的是,这里的“整体转化法”是建立在“整体”基础上的。说白了,“整体转化法”就是“数学转化思想”中的一个分支,是“数学转化思想”的应用。
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举例说明
已知,a-b=100,a+b=10,分别求出a和b。
很显然,如果不靠转化的话,这道题是很难解出来的。
我们把“a-b”当成一个整体,然后转化成“(a+b)(a-b)”,那么问题也就好解决了。
转化后为
(a+b)(a-b)=100,我们把“a+b=10”代入进去,
10(a-b)=100
a-b=10
那么
(a+b)+(a-b)=20
2a=10
求得a=10,b=0
课程总结
到现在,关于“数学整体思想”,我们已经讲了三节课,一节是“整体代入法”,一节是“整体加减法”,一节是“整体转化法”,通过这三节课的学习,相信大家对“数学整体思想”都有了一个更深刻的理解。
我们不难发现,“数学整体思想”在数学界的运用中,主要有两大类。一类是“当成整体”后就有“能解题”的效果,直接代入使用即可;另一类是“当成整体”后还起不到想要的“解题效果”,还需要通过某些“运动”,比如“加减运动”等才能达到想要的效果,然后才能代入解题。
很显然,“整体代入法”就是属于“数学整体思想”中的第一大类,它是“数学整体思想”中的基础。而“整体加减法”、今天要讲的“整体转化法”,及以后要讲的其它“整体法”都是属于“数学整体思想”中的第二大类!
到这里,有人还是没有听懂,那咱们就再说得直白一些。那就是:
数学整体思想,不是说把题中的条件或关系式当成“整体”就万事大吉了,事实上没有这么简单。有些题,把某条件当成整体后,直接代入题中使用即可,就可以轻松解决问题。但有些题,就算把某条件当成整体了,也不能直接使用,因为这个“整体”还没有解题的效果,需要进行“运动”,然后才能达到出奇的效果呢,最后代入解题即可。
那么,什么叫做数学中的“运动”呢?
很简单,“运动”表现在数学中就是“加、减、乘、除、结合、分配、排序、转化……”等等,通过这些“运动”,就是想要摩擦出想要的“效果”
好了,今天我们就讲到这里。下一节课讲“整体设元法”,我们不见不散!
一.转化
在有理数的运算中将减法转化为加法,除法转化为乘法。在解二元一次方程组时通过消化“二元”为“一元”,这些都是转化思想方法应用的典型例证。应用转化的思想,首先要把握好化繁为简,化难为易,化未知为已知这个转化的根本方向和基本原则。其次也要掌握好常用的一些转化的具体方法。
如应用“变形”、“换元”、“添辅助线”等转化方法。特别是数轴建立,使数与点之间建立了对应关系,使数形的结合和互相转化有了可能,例如我们可以用数形转化的思想解绝对值方程|X一2|=3。
从数轴上看,这个绝对值方程表示的几何意义是,什么点和数2表示的点的距离等于3 ? 从如图的数轴可以直观地得出,这样的点有两个,即数5和-1表示的点。
应用转化的思想解数学题,还有两点是必须注意的,一是要重视转化条件,没有一定的条件就不能转化,二是不能忽略基础知识,多项式相乘转化为单项式乘法求解,而单项式的乘法还要进一步转化为更基本的有理数乘法和指数运算,因此从某种意义上讲,转化就是把复杂的问题转化为基本问题。
二.比较
比较是思维和理解的基础,每当我们学习新知识的时候,我们都会习惯性地思考,它是在什么旧知识的基础上建立起来的,这就是比较。
比较可分为类比和对比,类比是相同点的比较,对比是不同点的比较,把列代数式与列算式进行类比,借助于列算式的经验来学习列代数式,就能做到以旧推新,有利于新知识的掌握。相反数与倒数是一对很容易混淆的概念,通过比较,找出不同,明确差异,就能避免混淆。
应用比较的思想要注意把类比与对比有机结合,既“比”联系,又“比”区别。将一元一次不等式与一元一次方程的解法相比较,它们的解法步骤是完全相同的,解法原理是类似的,不同之处有两点:一是在于不等式两边乘以或除以同一个负数时不等号要改变方向;二是不等式的解集是无限多个数。经过这样求“同”存“异”比较,就能更准确地把握一元一次不等式的解法。
比较的思想方法在数学学习中还有着十分广泛的应用,如特殊与一般的比较、知识的“纵向”和“横向”的比较、正确与错误的比较等等,重要的是要掌握比较的思想,养成比较的习惯,学会比较的方法。
三.分类
分类是根据研究的需要,按照一定的原则对研究对象的一个划分,分类的思想也是一种重要的数学思想方法。
初中数学教材中分类思想的应用比比皆是:有理数的分类,直线位置关系的分类等等。
正确完整的分类应该满足下列原则:⑴按同一标准分类;⑵没有遗漏;⑶没有重复。
如把有理数分为:正有理数,负有理数。这就遗漏了既不是正有理数,又不是负有理数的有理数“0”。
分类,能帮助我们把纷繁的材料或研究对象条化、系统化,形成简化的、有效率的思维方式。需要注意的是应把握好在什么情况才需要分类及如何分类,盲目的分类及分类不当反而会把简单的问题复化,把复杂的问题弄得更加复杂。
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文章不错《什么是数学整体思想中的“整体转化法”?》内容很有帮助