大学是怎样推导牛顿-莱布尼兹公式的？

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：

我们知道，对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：

b(上限)∫a（下限）f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt

接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。

证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

高阶的莱布尼茨公式，形式就跟二项式定理一样，

（u*v）^（n）=u(n) + n*u(n-1)*v(1) + [n*(n-1)/2]*u(n-2)*v(2)+……+[n*(n-1)/2]*u(2)*v(n-2)+n*u(1)*v(n-1)+v(n)

就跟二项式展开（u+v）^n=…… 一样，只是n次方换成了n次求导

很显然例如对 a*x^b （其中b为自然数）求n次导数，必然求b+1次就为0了

有的N阶求导一下子只有3项，形式如（e^x）*(x^2) 对它求n次导数，

右边第一项为e^x，第二项n * e^x * 2x,第三项[n*(n-1)/2] * e^x * 2，第四项自然是0了

所以只有三项

本文来自作者[静曼]投稿，不代表泰博号立场，如若转载，请注明出处：https://www.staplesadv.cn/ds/9985.html