关于勾股定理的历史？

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献．邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明．它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理．在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理．

勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和．如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择．但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑．因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理．在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答．周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度．”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”即我们常说的勾三、股四、弦五．《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸．髀者，股也，正晷者，勾也．正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸．日益表南，晷日益长．候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔．由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里．

这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践．钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法．周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸．正北千里，影长一尺七寸．祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高．又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径．这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的．”由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的．

但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法．因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明．虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，如利用反证法证明 不是有理数，但最著名的就是证明勾股定理了．传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神．也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！

勾股定理是数学上有证明方法最多的定理——有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里．

汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理．这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的．您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算）

勾股定理所有验证方法

勾股定理的证明

罗洪信?

证法1（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a?+?b，所以面积相等.?即

，?整理得.

证法2（邹元治证明）

以a、b?为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于?.?把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵?RtΔHAE?≌?RtΔEBF,?

∴?∠AHE?=?∠BEF.

∵?∠AEH?+?∠AHE?=?90?,

∴?∠AEH?+?∠BEF?=?90?.

∴?∠HEF?=?180?―90?=?90?.

∴?四边形EFGH是一个边长为c的

正方形.?它的面积等于c2.?

∵?RtΔGDH?≌?RtΔHAE,?

∴?∠HGD?=?∠EHA.

∵?∠HGD?+?∠GHD?=?90?,

∴?∠EHA?+?∠GHD?=?90?.

又∵?∠GHE?=?90?,

∴?∠DHA?=?90?+?90?=?180?.

∴?ABCD是一个边长为a?+?b的正方形，它的面积等于?.

∴?.∴?.

证法3（赵爽证明）

以a、b?为直角边（b>a），?以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于?.?把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.?

∵?RtΔDAH?≌?RtΔABE,?

∴?∠HDA?=?∠EAB.

∵?∠HAD?+?∠HAD?=?90?，

∴?∠EAB?+?∠HAD?=?90?，

∴?ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵?EF?=?FG?=GH?=HE?=?b―a?,

∠HEF?=?90?.

∴?EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于?.

∴?.

∴?.

证法4（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b?为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于?.?把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.?

∵?RtΔEAD?≌?RtΔCBE,?

∴?∠ADE?=?∠BEC.

∵?∠AED?+?∠ADE?=?90?,

∴?∠AED?+?∠BEC?=?90?.?

∴?∠DEC?=?180?―90?=?90?.

∴?ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于?.

又∵?∠DAE?=?90?,?∠EBC?=?90?,

∴?AD‖BC.

∴?ABCD是一个直角梯形，它的面积等于?.

∴?.

∴?.

证法5（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b?，斜边长为c.?把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.?过C作AC的延长线交DF于点P.?

∵?D、E、F在一条直线上,?且RtΔGEF?≌?RtΔEBD,

∴?∠EGF?=?∠BED，

∵?∠EGF?+?∠GEF?=?90°，

∴?∠BED?+?∠GEF?=?90°，

∴?∠BEG?=180?―90?=?90?.

又∵?AB?=?BE?=?EG?=?GA?=?c，

∴?ABEG是一个边长为c的正方形.?

∴?∠ABC?+?∠CBE?=?90?.

∵?RtΔABC?≌?RtΔEBD,

∴?∠ABC?=?∠EBD.

∴?∠EBD?+?∠CBE?=?90?.?

即∠CBD=?90?.

又∵?∠BDE?=?90?，∠BCP?=?90?，

BC?=?BD?=?a.

∴?BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴.

证法6（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）?，斜边长为c.?再做一个边长为c的正方形.?把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.?

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.?

∵?∠BCA?=?90?，QP‖BC，

∴?∠MPC?=?90?，

∵?BM⊥PQ，

∴?∠BMP?=?90?，

∴?BCPM是一个矩形，即∠MBC?=?90?.

∵?∠QBM?+?∠MBA?=?∠QBA?=?90?，

∠ABC?+?∠MBA?=?∠MBC?=?90?，

∴?∠QBM?=?∠ABC，

又∵?∠BMP?=?90?，∠BCA?=?90?，BQ?=?BA?=?c，

∴?RtΔBMQ?≌?RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF?≌?RtΔAEF.

从而将问题转化为证法4（梅文鼎证明）.

证法7（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.?过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.?

∵?AF?=?AC，AB?=?AD，

∠FAB?=?∠GAD，

∴?ΔFAB?≌?ΔGAD，

∵?ΔFAB的面积等于?，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴?矩形ADLM的面积?=?.

同理可证，矩形MLEB的面积?=?.

∵?正方形ADEB的面积?

=?矩形ADLM的面积?+?矩形MLEB的面积

∴，即?.

证法8（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.?

在ΔADC和ΔACB中，

∵?∠ADC?=?∠ACB?=?90?，

∠CAD?=?∠BAC，

∴?ΔADC?∽?ΔACB.

AD∶AC?=?AC?∶AB，

即.

同理可证，ΔCDB?∽?ΔACB，从而有?.

∴?，即?.

证法9（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.?再做一个边长为c的正方形.?把它们拼成如图所示的多边形.?过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.?过B作BP⊥AF，垂足为P.?过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵?∠BAD?=?90?，∠PAC?=?90?，

∴?∠DAH?=?∠BAC.

又∵?∠DHA?=?90?，∠BCA?=?90?，

AD?=?AB?=?c，

∴?RtΔDHA?≌?RtΔBCA.

∴?DH?=?BC?=?a，AH?=?AC?=?b.

由作法可知，?PBCA?是一个矩形，

所以?RtΔAPB?≌?RtΔBCA.?即PB?=?

CA?=?b，AP=?a，从而PH?=?b―a.?

∵?RtΔDGT?≌?RtΔBCA?,

RtΔDHA?≌?RtΔBCA.

∴?RtΔDGT?≌?RtΔDHA?.

∴?DH?=?DG?=?a，∠GDT?=?∠HDA?.?

又∵?∠DGT?=?90?，∠DHF?=?90?，

∠GDH?=?∠GDT?+?∠TDH?=?∠HDA+?∠TDH?=?90?，

∴?DGFH是一个边长为a的正方形.?

∴?GF?=?FH?=?a?.?TF⊥AF，TF?=?GT―GF?=?b―a?.

∴?TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=?b，高FP=a?+（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

①

∵=?，

，

∴?=.?②

把②代入①，得

==?.

∴.

证法10（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.?做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.?用数字表示面积的编号（如图）.

∵?∠TBE?=?∠ABH?=?90?，

∴?∠TBH?=?∠ABE.

又∵?∠BTH?=?∠BEA?=?90?，

BT?=?BE?=?b，

∴?RtΔHBT?≌?RtΔABE.

∴?HT?=?AE?=?a.

∴?GH?=?GT―HT?=?b―a.

又∵?∠GHF?+?∠BHT?=?90?，

∠DBC?+?∠BHT?=?∠TBH?+?∠BHT?=?90?，

∴?∠GHF?=?∠DBC.

∵?DB?=?EB―ED?=?b―a，

∠HGF?=?∠BDC?=?90?，

∴?RtΔHGF?≌?RtΔBDC.?即?.

过Q作QM⊥AG，垂足是M.?由∠BAQ?=?∠BEA?=?90?，可知?∠ABE

=?∠QAM，而AB?=?AQ?=?c，所以RtΔABE?≌?RtΔQAM?.?又RtΔHBT?≌?

RtΔABE.?所以RtΔHBT?≌?RtΔQAM?.?即?.?

由RtΔABE?≌?RtΔQAM，又得QM?=?AE?=?a，∠AQM?=?∠BAE.?

∵?∠AQM?+?∠FQM?=?90?，∠BAE?+?∠CAR?=?90?，∠AQM?=?∠BAE，

∴?∠FQM?=?∠CAR.

又∵?∠QMF?=?∠ARC?=?90?，QM?=?AR?=?a，

∴?RtΔQMF?≌?RtΔARC.?即?.

∵?，?，?，

又∵?，?，?，

∴?

=?

=?，

即?.

证法11（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC?=?a，AC?=?b，斜边AB?=?c.?如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD?=?BE?=?BC?=?a.?因为∠BCA?=?90?，点C在⊙B上，所以AC是⊙B?的切线.?由切割线定理，得

=?

=?

=?，

即?，

∴?.

证法12（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC?=?a，AC?=?b，斜边AB?=?c（如图）.?过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.?根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵?AB?=?DC?=?c，AD?=?BC?=?a，

AC?=?BD?=?b，

∴?，即?，

∴?.

证法13（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC?=?a，AC?=?b，斜边AB?=?c.?作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵?AE?=?AF，BF?=?BD，CD?=?CE，

∴?

=?=?r?+?r?=?2r,

即?，

∴?.

∴?，

即?，

∵?，

∴?，

又∵==?

==?，

∴?，

∴?，

∴?，?∴?.

证法14（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.?

假设?，即假设?，则由

=?=?

可知?，或者?.?即?AD：AC≠AC：AB，或者?BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵?∠A?=?∠A，

∴?若?AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵?∠B?=?∠B，

∴?若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵?∠ACB?=?90?，

∴?∠ADC≠90?，∠CDB≠90?.

这与作法CD⊥AB矛盾.?所以，?的假设不能成立.

∴?.

证法15（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.?作边长是a+b的正方形ABCD.?把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为?；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为=?.

∴,

∴.

证法16（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.?做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.?用数字表示面积的编号（如图）.

在EH?=?b上截取ED?=?a，连结DA、DC，

则?AD?=?c.

∵?EM?=?EH?+?HM?=?b?+?a?,?ED?=?a，

∴?DM?=?EM―ED?=?―a?=?b.

又∵?∠CMD?=?90?，CM?=?a，

∠AED?=?90?，?AE?=?b，

∴?RtΔAED?≌?RtΔDMC.

∴?∠EAD?=?∠MDC，DC?=?AD?=?c.

∵?∠ADE?+?∠ADC+?∠MDC?=180?，

∠ADE?+?∠MDC?=?∠ADE?+?∠EAD?=?90?，

∴?∠ADC?=?90?.

∴?作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵?∠BAF?+?∠FAD?=?∠DAE?+?∠FAD?=?90?，

∴?∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵?AB?=AD?=?c，AE?=?AF?=?b，∠BAF=∠DAE，

∴?ΔABF?≌?ΔADE.

∴?∠AFB?=?∠AED?=?90?，BF?=?DE?=?a.

∴?点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵?AB?=?BC?=?c，BF?=?CG?=?a，

∴?RtΔABF?≌?RtΔBCG.

∵?，，，

，

∴?

=?

=?

=?

∴.

我只能给出这16种正法了

在网上的朋友们哪们能告诉我勾股定理的主要解法呢？

[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

如下:

解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，

a^2+b^2=c^2

说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5

则说明斜边为5。

勾股定理的种证明方法（部分）

证法1（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴ .

证法2（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90°，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

证法3（赵浩杰证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上，

证法4（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 a^2+b^2=c^2

勾股定理的证明 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA’ ≌△AA’’ C。 过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 即a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上**，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 附录 一、《周髀算经》简介 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、伽菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。